La cebirsel bir ifadeyi çarpanlarına ayırma Söz konusu ifadenin daha basit faktörlerin çarpımı olarak yazılması işlemidir. Başka bir deyişle, polinomları çarpanlara ayırırkenamaç, çarpıldığında aynı cebirsel köken ifadesini veren terimleri bulmaktır.
Bu süreç cebirde son derece önemlidir çünkü denklemlerin basitleştirilmesine ve çok daha kolay yönetilebilir hale getirilmesine olanak sağlar. Ayrıca, bir polinomu çarpanlarına ayırmanın en önemli hedeflerinden biri, onu şu şekilde temsil etmektir: daha düşük dereceli diğer polinomların çarpımı.
Konsepti daha iyi anlamak için temel bir örnek ele alalım:
Cebirsel ifade: x(x + y)
Bu ifadenin terimlerini çarparak şunu elde ederiz:
x2 +xy
Böylece: x(x + y) = x2 +xy
La faktoring Yalnızca problem çözmeyi kolaylaştırdığı için değil, aynı zamanda cebirsel bir ifadenin terimleri arasındaki özellikleri ve ilişkileri tanımlamanıza olanak tanıdığı için de faydalıdır.
ortak faktör
Çarpanlara ayırma tekniklerine başlamadan önce terimin ne anlama geldiğini anlamak önemlidir. ortak faktör. Bir polinom içinde ortak faktörü arayarak, ifadenin tüm terimlerinde tekrarlanan bir terimi belirlemeyi ve onu basitleştirmemize olanak sağlamayı hedefliyoruz.
Ancak faktoringin her zaman mümkün olmadığını unutmamak gerekir. Çarpanlara ayırmak için üzerinde çalışılacak en az bir ortak terim olmalıdır. Aksi halde daha fazla basitleştirilemez.
Örneğin, ifadede:
xa + yb + zc
Hiç yok ortak faktör terimler arasında olduğundan çarpanlara ayırma işlemi yapılamaz.
Bunun mümkün olduğu başka bir duruma bakalım:
a2x + bir2y
Buradaki ortak faktör a2. Basit olması açısından her iki terimi de şu ortak faktöre bölüyoruz:
- a2x a ile bölünmüştür2, bu da x'i verir
- a2y a ile bölünmüştür2, ne verir ve
Son olarak çarpanlara ayrılmış ifade şu şekildedir:
a2(x+y)
Polinomları çarpanlarına ayırmada ortak faktörü kullanma
Çoğu durumda, bir polinomun bazı terimlerinin bir değeri olacaktır. ortak faktör, diğerleri ise bunu yapmaz. Bu senaryolarda yapılması gereken terim gruplamasıBöylece gruplandırılmış terimler ortak bir çarpanı paylaşıyor.
Örneğin, ifadede:
xa + ya + xb + yb
Terimleri farklı şekillerde gruplayabiliriz:
(xa + ya) + (xb + yb)
Gruplandırılmış terimleri analiz edersek, her grupta ortak bir faktör gözlemleyebiliriz:
a(x + y) + b(x + y)
Son olarak ifadeyi şu şekilde çarpanlara ayırabiliriz:
(x + y)(a + b)
Bu tekniğe "gruplama çarpanlara ayırma" adı verilir ve tüm terimler aynı ortak faktöre sahip olmasa bile polinomları basitleştirmenize olanak tanır. Gruplamanın birden fazla yolu olduğunu ve sonucun her zaman aynı olacağını unutmamak gerekir. Örneğin aynı durumda terimleri şu şekilde gruplandırabilirdik:
(xa + xb) + (ya + yb)
Bu da yine şuna yol açıyor:
x(a + b) + y(a + b)
Sonunda aynı sonucu elde ederiz:
(a + b)(x + y)
Bu süreç, faktörlerin sırasının nihai ürünü değiştirmediğini belirten değişme yasasıyla desteklenir.
Gelişmiş Yöntemler: Dikkate değer ürünleri kullanarak faktoring
Polinomları çarpanlara ayırmanın başka yöntemleri de vardır; bunlar arasında olağanüstü ürünler. En yaygın dikkate değer ürünler şunlardır: tam kare üç terimli y el x formunun üç terimlisi2 + bx + c. Başka dikkate değer ürünler de vardır, ancak bunlar daha çok binomlara uygulanma eğilimindedir.
Mükemmel kare üç terimli
Un tam kare üç terimli Bir binomun karesinin alınması sonucu elde edilen, üç terimden oluşan bir polinomdur. Kural, sürecin şu yapıyı takip ettiğini söylüyor: birinci terimin karesi artı birinci terimin iki katı çarpı ikinci terim artı ikinci terimin karesi.
Tam kare bir üç terimliyi çarpanlara ayırmak için şu adımları izleriz:
- Birinci ve üçüncü terimlerin karekökünü alıyoruz.
- Kökleri ikinci terime karşılık gelen işarete göre ayırıyoruz.
- Oluşan binomun karesini alıyoruz.
Bir örnek ele alalım:
4a2 – 12b + 9b2
- 4a'nın karekökü2: 2a
- 9b'nin karekökü2: 3b
Üç terimli şu şekilde çarpanlara ayrılır:
(2a – 3b)2
x formunun üç terimi2 + bx + c
Bu tür üç terimlinin daha kolay çarpanlara ayrılmasına olanak tanıyan belirli özellikleri vardır. Bu formdaki bir üç terimlinin çarpanlara ayrılabilmesi için aşağıdaki kriterleri karşılaması gerekir:
- Birinci terimin katsayısı 1 olmalıdır.
- İlk terim karesi alınmış bir değişken olmalıdır.
- İkinci terim aynı değişkene sahiptir ancak karesi alınmamıştır (üs 1'e sahiptir).
- İkinci terimin katsayısı pozitif veya negatif olabilir.
- Üçüncü terim öncekilerle doğrudan ilgisi olmayan bir sayıdır.
Bu çarpanlara ayırmanın bir örneği aşağıdaki üç terimli olabilir:
x2 +9x +14
Bunu hesaba katmak için şu işlemi izleyin:
- Trinomial'i iki binom'a ayırıyoruz.
- Her iki terimlinin ilk terimi, üç terimlinin ilk teriminin (bu durumda “x”) kareköküdür.
- Binomların işaretleri, trinomiyalin ikinci ve üçüncü niceliklerine göre atanır (bu durumda pozitif).
- Çarpıldığında 14, toplandığında 9 veren (seçenekler 7 ve 2) iki sayı arıyoruz.
Bu şekilde, çarpanlara ayrılmış üç terimli:
(x+7)(x+2)
Ek yöntemler: Faktör teoremi ve Ruffini kuralı
El faktör teoremi bir polinomun, x = a için orijinal polinomu değerlendirirken sonuç 0 ise, (x – a) formundaki bir polinomla bölünebileceğini belirtir. Bu teorem, polinomların köklerini bulmak için kullanışlıdır ve çarpanlara ayırmayı kolaylaştırır. Çoğu zaman aşağıdakilerle birlikte kullanılır: Ruffini'nin kuralıpolinom bölmelerini gerçekleştirmek için basitleştirilmiş bir yöntem.
Bu araçlar özellikle derece 3 veya daha yüksek polinomlarla çalışırken, tam kare üç terimli veya dikkate değer çarpımlar gibi basit yöntemlerin uygulanmasının mümkün olmadığı durumlarda kullanışlıdır.
Son olarak, tüm polinomların kolayca çarpanlara ayrılamayacağını belirtmek önemlidir. Bazı durumlarda polinomun köklerini bulmak için daha gelişmiş yöntemlere veya sayısal tekniklere başvurmak gerekir. Ancak temel cebirde bulunan örneklerin çoğu bu araçlar kullanılarak çözülebilir.
Faktoring cebirde güçlü bir araçtır çünkü karmaşık ifadeleri basitleştirmenize ve denklemleri daha verimli bir şekilde çözmenize olanak tanır. Polinomları çarpanlarına ayırmanın farklı yöntemlerinde uzmanlaşarak, çok çeşitli problemlere daha hızlı ve daha etkili çözümler uygulayabiliriz.